Изображение на весь экран - нажать клавишу F11
 

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
 
Пусть  t – произвольное действительное число. Угол поворота на величину  t (радиан) – это такой угол поворота подвижного луча, при котором точка пересечения  Pt  этого луча с единичной окружностью пройдет путь, равный  |t|,  причем направление вращения выбирается в зависимости от знака  t  (плюс - против часовой стрелки).

   

 
Синусом числа  t  называется ордината точки, полученной поворотом точки  (1; 0)  на угол  t,
косинусом числа  t  называется абсцисса этой точки.

Если обозначить координаты точки через  x  и  y,  то мы получим  x = cos t,  y = sin t.
В дальнейшем будет удобнее обозначать аргумент функции через x, а значение функции через y:  y = cos x,  y = sin x.
Исходя из определения строятся графики синуса и косинуса.
 

     

Графики функций  y = sin x  и  y = cos x
Полученные графики имеют бесконечное множество осей симметрии. Это следует из определения синуса и косинуса. В частности, косинус является чётной функцией.
Пример. Вертикальная прямая    является осью симметрии графика  .
Соответствующая формула имеет вид: .

Для доказательства достаточно заметить, что точки окружности (с центром в начале координат), симметричные относительно оси  y,  имеют равные ординаты.
Полученные графики имеют бесконечное множество центров симметрии. Это следует из определения. В частности, синус является нечётной функцией.
Пример. Точка с абсциссой    является центром симметрии графика  .
Соответствующая формула имеет вид:  .

Для доказательства достаточно заметить, что точки окружности (с центром в начале координат), симметричные относительно оси  x,  имеют противоположные ординаты.
 

График функции  y = sin(x+a)
(изменение параметра  a  осуществляется движком в нижней части рисунка)
Заметим, что ось  x  переходит в ось  y  при повороте на  ,  поэтому   и график косинуса получается из графика синуса сдвигом по оси  x   на    влево ( см. преобразования графиков).

При повороте на угол    (в любом направлении) ось  x  переходит в себя так, что все числа переходят в себя. То же самое можно сказать про ось  y.  Отсюда следует, что  и  .
Эти равенства означают, что как  ,  так и    является периодом как синуса, так и косинуса.
 

Упражнения.  
1) На динамическом графике функции  y = sin(x+a)  возьмите значение  a  (примерно) равным  значению  ,  а затем к  .  Как изменится при этом график функции? Ответ объясните. Запишите полученный результат в виде формулы.

2) Найдите такие значения  a,  при которых график совпадает с функцией  sin x  или  cos x  либо отличается от них знаком. Выразите через    точные значения  a  и напишите соответствующие формулы. Эти формулы называются формулами приведения. Докажите их на основе определения синуса и косинуса числа.


График функции  y = sin(x+a)
(изменение параметра  a  осуществляется движком в нижней части рисунка)
 

Упражнение. При повороте на угол    ось  x  переходит в себя так, что все числа переходят в противоположные. То же самое можно сказать про ось  y.  Докажите, что отсюда следует, что    и  .
 

Функции тангенс и котангенс определяются так, чтобы их определения соответствовали введенным ранее в геометрии понятиям тангенса и котангенса угла. 
Тангенсом числа  t  называется отношение синуса числа  t  к его косинусу, т.е. по определению  ;
котангенсом числа  t  называется отношение косинуса числа  t  к его синусу, т.е. по определению  .
 

Из доказанного в последнем упражнении следует, что    является периодом функций  y = tg x  и  y = ctg x.
 

                     

Графики функций  y = tg x  и  y = ctg x
 

Упражнение. Найдите связь между графиками функций тангенса и котангенса. Напишите формулу, описывающую эту связь, и докажите её на основе определения тангенса и котангенса (см. преобразования графиков).
 

График функции y = tg ax
(изменение параметра  a  осуществляется движком в нижней части рисунка)
 

Упражнение. Найдите период функций  y = tg 2x  и  y = tg x/2.  Выразите через функцию  y = ctg x  функцию  y = tg (-x)  и прокомментируйте свой вывод на графике.
 
<< назад               вперед >>
В оглавление модулей / В расписание уроков