Изображение на весь экран - нажать клавишу F11
 
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
 
Поставим вопрос о нахождении числа  x  по значению его синуса  a = sin x.
Каждое свое значение синус принимает бесконечно много раз, поэтому ответ на вопрос будет однозначным только если число  x  лежит на промежутке, в котором синус принимает каждое своё значение один раз.
Пусть число  а  по модулю не превосходит единицы.
Арксинусом числа  а  называется число  x,  лежащее в пределах от    до  ,  синус которого равен  а.
Обозначение:  x = arcsin a.
Можно рассмотреть функцию  y = arcsin x.  Областью её определения будет отрезок  [-1; 1], а областью значений – отрезок  .
Эту функцию можно также определить как обратную к функции  y = sin x  на отрезке    (см. определение обратной функции).

Её график будет симметричен графику синуса относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.
 

Упражнение. Перемещая (за точку  A)  отрезок длины    на динамическом рисунке, постройте график арксинуса и найдите еще два (в области рисунка) отрезка, на которых функция  y = sin x  имеет обратную.

Построение обратной функции к функции  y = sin x,  определенной на отрезке
Из определения обратной функции следует, что 

sin(arcsin x) = x  при 
arcsin(sin x) = x  при  
 
Аналогично определяется арккосинус числа.
Арккосинусом числа  а  называется число  x,  лежащее в пределах от  0  до  ,  косинус которого равен  а.
Обозначение:  x = arccos a. 
Для решения вопроса о нахождении  числа по его тангенсу или котангенсу заметим, что последние принимают любые значения, поэтому арктангенс и арккотангенс могут быть определены для любого числа.
Арктангенсом числа  а  называется число  ,  тангенс которого равен  а.

Обозначение:  x = arctg a.

Арккотангенсом числа  а  называется число  ,  арккотангенс которого равен  а.
Обозначение:  x = arcctg a. 
Аналогично арксинусу можно рассмотреть функцию  y = arctg x. 
Эта функция является обратной к функции  y = tg x  на промежутке   .

Областью её определения будет вся вещественная ось, а областью значений – промежуток  .

 

Упражнение. Перемещая (за точку  A)  промежуток длины    на динамическом рисунке, постройте график арктангенса и найдите еще два (в области рисунка) промежутка, на которых функция  y = tg x  имеет обратную.

Построение обратной функции к функции  y = tg x,  определенной на промежутке

Из определения обратной функции следует, что 

tg(arctg x) = x  при  любом  x
arctg(tg x) = x  при  
 
 
<< назад               вперед >>
В оглавление модулей / В расписание уроков