Доказательство.
Свойства логарифмов выводятся из свойств степеней с помощью основного логарифмического тождества, выражающего определение логарифма. Выведем для примера первое свойство.
Обозначим    По основному логарифмическому тождеству имеем:    и 
Перемножим эти равенства:   По свойству степеней    т.е.    По определению логарифма    что и требовалось доказать. Свойства 2 и 3 выведите самостоятельно.

Свойства степеней и логарифмов тесно связаны между собой. Они фактически выражают одно и то же, только в одном случае мы обращаем внимание на поведение самих степеней, а в другом – на поведение показателей.
1)  
2) 

3) 

С помощью свойств логарифмов можно логарифмировать выражения, составленные с помощью операций умножения, деления и возведения в степень.

Замечание

Запись    имеет смысл лишь при    Поэтому в тождествах, отражающих свойства логарифмов, все выражения, стоящие под знаком логарифма, считаются положительными. При логарифмировании буквенных выражений надо их раскладывать на множители так. Чтобы все множители были положительны. Например, пусть необходимо прологарифмировать выражение    Сделать это можно лишь тогда, когда    т.е. когда либо    либо    Если    то оба множителя  x  и    положительны и мы можем записать:
  при 
Если же   то оба множителя отрицательны и  A  нужно разложить на множители так:   откуда:
  при 
Аналогично,    при   и    при   С помощью модуля это можно записать короче: 

Нахождение выражения по его логарифму (потенцирование)
Иногда приходится искать выражение по его логарифму. Такую операцию называют потенцированием.