Углы, получающиеся при непрерывном вращении, удобно измерять не в градусах, а с помощью таких чисел, которые отражали бы сам процесс построения угла, т.е. вращение.
Для описания непрерывного вращения градусная мера угла поворота становится неудобной – с ней трудно связывать другие характеристики движения, например, скорость или соединять вращательное движение с иными движениями. Поэтому вводят другую меру угла поворота, так называемую радианную меру.

Опишем окружность радиуса  R  с центром в точке  O.  Начнем поворачивать подвижный луч и будем следить за точкой  P  пересечения этого луча с окружностью. При вращении подвижного луча от начального положения, совпадающего с неподвижным лучом, точка  P  будет проходить по окружности некоторый путь, который можно измерить в тех же единицах длины, что и радиус  R.  Отношение пройденного пути к радиусу  R  не зависит от радиуса. Если этому отношению еще приписать знак в зависимости от направления вращения, то мы получим действительное число  t,  которое и называется радианной мерой угла поворота.
Так как число  t  является отношением двух однородных величин (длин), то оно безразмерно. Поэтому название меры  –  1  радиан  –  является в значительной мере условным. Можно говорить, что угол поворота равен одному радиану, но можно и просто сказать, что угол поворота равен единице.
Удобно выбрать значение радиуса  R,  равное  1.  Угол поворота численно будет равен пути, пройденному точкой  P  по единичной окружности, снабженному знаком в зависимости от направления вращения.

Развернутый угол измеряется половиной длины единичной окружности. Это число обозначается буквой    Число    известно людям с глубокой древности и с довольно большой точностью. Первые десятичные знаки этого числа таковы: 
Угол величиной    часто используется как самостоятельная мера измерения углов. Прямой угол равен    угол в равностороннем треугольнике –    угол, мера которого равна  1  (одному радиану), соответствует некоторому углу, чуть меньшему, чем    ведь  

Выведем формулы для перевода из градусной меры в радианную и обратно. Достаточно сравнить меры для одного и того же угла, например, прямого:    следовательно,  
Обратно, можно выразить единицу (т.е. один радиан) в градусной мере: 

В географии, астрономии и других прикладных науках используют доли градуса – минуту и секунду. Они обозначаются соответственно    и   Минута – это    градуса, а секунда –    минуты, следовательно,  
Итак, один и тот же угол можно записать в градусах и радианах. При этом величину угла в радианах часто можно записать как рациональную долю угла    Это можно делать для углов, соизмеримых с развернутым.