Один из источников тригонометрических формул – это
изучение поворотов. Поворот точки на угол
можно представить как композицию двух поворотов – на
угол
и на угол
Есть простые формулы, связывающие координаты точек
и
Эти формулы называются формулами сложения.
Мы выведем формулы, связывающие
с тригонометрическими функциями углов
и
Достаточно вывести формулу косинуса разности,
остальные формулы получатся как ее следствия. |
Косинус разности двух углов равен произведению косинусов этих углов,
сложенному с произведением синусов:
![](M_4.3.3.files/image014.gif)
|
![](M_4.3.3.files/image000.jpg) |
Доказательство.
Построим углы
и
с помощью единичной окружности, т. е. точки
и
такие, что векторы
и
образуют углы
и
с положительным направлением оси абсцисс. Угол
между векторами
и
равен
![](M_4.3.3.files/image026.gif) Вычислим
скалярное произведение этих векторов. По определению скалярного
произведения:
(так как векторы
и
имеют
длину, равную
1).
Теперь вычислим это же скалярное произведение с помощью координат: ![](M_4.3.3.files/image030.gif)
Сравнивая результаты вычислений, получаем требуемую формулу:
что и требовалось доказать. Выведем остальные формулы. Косинус суммы.
Сумму
представим как разность
и подставим в формулу для
косинуса разности:
![](M_4.3.3.files/image037.gif)
Воспользуемся тем, что
(четность косинуса), а
(нечетность синуса). Получим: |
![](M_4.3.3.files/image043.gif)
|
Синус суммы.
Воспользуемся одной из формул приведения:
![](M_4.3.3.files/image045.gif) Теперь по формуле косинуса разности получим:
. Окончательно |
![](M_4.3.3.files/image049.gif)
|
Синус разности.
![](M_4.3.3.files/image051.gif) |
![](M_4.3.3.files/image053.gif)
|
Тангенс суммы и разности.
По определению
По
формулам синуса и косинуса суммы имеем:
![](M_4.3.3.files/image057.gif) Разделив числитель и знаменатель этой дроби на
получим: |
![](M_4.3.3.files/image061.gif)
|
Заменяя
на
и пользуясь нечетностью тангенса,
получаем: |
![](M_4.3.3.files/image065.gif)
|
|