Изображение на весь экран - нажать клавишу F11
 
ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ
 

Один из источников тригонометрических формул – это изучение поворотов. Поворот точки на угол    можно представить как композицию двух поворотов – на угол    и на угол   
Есть простые формулы, связывающие координаты точек    и    Эти формулы называются формулами сложения.
Мы выведем формулы, связывающие    с тригонометрическими функциями углов    и    Достаточно вывести формулу косинуса разности, остальные формулы получатся как ее следствия.

Косинус разности двух углов равен произведению косинусов этих углов, сложенному с произведением синусов:

 

Доказательство.
Построим углы    и    с помощью единичной окружности, т. е. точки    и    такие, что векторы    и    образуют углы    и    с положительным направлением оси абсцисс. Угол между векторами    и    равен  

Вычислим скалярное произведение этих векторов. По определению скалярного произведения:
 (так как векторы    и    имеют длину, равную  1).
Теперь вычислим это же скалярное произведение с помощью координат: 
Сравнивая результаты вычислений, получаем требуемую формулу:    что и требовалось доказать.

Выведем остальные формулы.

Косинус суммы.
Сумму    представим как разность    и подставим в формулу для косинуса разности:

Воспользуемся тем, что    (четность косинуса), а    (нечетность синуса). Получим:


 

Синус суммы.
Воспользуемся одной из формул приведения: 

Теперь по формуле косинуса разности получим:  .

Окончательно


 

Синус разности.


 

Тангенс суммы и разности.
По определению    По формулам синуса и косинуса суммы имеем:  

Разделив числитель и знаменатель этой дроби на    получим:


 

Заменяя    на    и пользуясь нечетностью тангенса, получаем:


 
 
<< назад               вперед >>
В оглавление модулей / В расписание уроков