|
Один из источников тригонометрических формул – это
изучение поворотов. Поворот точки на угол
можно представить как композицию двух поворотов – на
угол
и на угол
Есть простые формулы, связывающие координаты точек
и
Эти формулы называются формулами сложения.
Мы выведем формулы, связывающие
с тригонометрическими функциями углов
и
Достаточно вывести формулу косинуса разности,
остальные формулы получатся как ее следствия. |
Косинус разности двух углов равен произведению косинусов этих углов,
сложенному с произведением синусов:
|
 |
|
Доказательство.
Построим углы
и
 с помощью единичной окружности, т. е. точки
 и
такие, что векторы
и
образуют углы
и
с положительным направлением оси абсцисс. Угол
между векторами
и
равен
 Вычислим
скалярное произведение этих векторов. По определению скалярного
произведения:
(так как векторы
и
имеют
длину, равную
1).
Теперь вычислим это же скалярное произведение с помощью координат: 
Сравнивая результаты вычислений, получаем требуемую формулу:
 что и требовалось доказать. Выведем остальные формулы. Косинус суммы.
Сумму
представим как разность
 и подставим в формулу для
косинуса разности:
Воспользуемся тем, что
 (четность косинуса), а
 (нечетность синуса). Получим: |
|
|
Синус суммы.
Воспользуемся одной из формул приведения:
 Теперь по формуле косинуса разности получим:
 . Окончательно |
|
|
Синус разности.
 |
|
|
Тангенс суммы и разности.
По определению
 По
формулам синуса и косинуса суммы имеем:
 Разделив числитель и знаменатель этой дроби на
 получим: |
|
|
Заменяя
на
 и пользуясь нечетностью тангенса,
получаем: |
|
| |