Мы представляем новые функции в сервисе MathPartner, которые недавно стали доступны пользователям. Мы выделяем функции для вычисления как среднего арифметико-геометрического, так и среднего геометрического гармонического. Они позволяют вычислять полные эллиптические интегралы первого рода. Они полезны для решения многих задач физики, например, можно вычислить период простого маятника. Далее можно вычислить модифицированное среднее арифметико-геометрическое, предложенное Семёном Адлаем. Следовательно, можно вычислить полные эллиптические интегралы второго рода, а также длину окружности эллипса. Кроме того, можно также вычислить матрицы Сильвестра первого и второго рода. Таким образом, с помощью нескольких строк можно вычислить равнодействующую двух многочленов, а также дискриминант двоичной формы. Также добавлены некоторые новые матричные функции. Итак, на сегодняшний день в список матричных функций входят транспонированная, сопряженная, обратная, обобщенная обратная и псевдообратная матрицы, определитель матрицы, ядро, ступенчатая форма, характеристический многочлен, разложение Брюа, треугольная LDU декомпозиция, которая является точной блочной рекурсивной LU-декомпозицией, блочной рекурсивной декомпозицией QR и сингулярной декомпозицией. Кроме того, реализованы две блочно-рекурсивные функции для вычисления разложения Холецкого симметричных положительно определенных матриц: одна функция для разреженных матриц со стандартным алгоритмом умножения и другая функция для плотных матриц с умножением по алгоритму Винограда--Штрассена. Задачи линейного программирования тоже могут быть решены. Итак, сервис MathPartner стал лучше и удобнее. Он находится в свободном доступе по адресу http://mathpar.ukma.edu.ua/, а также по адресу http://mathpar.com/. (на англ.) С. 29-40.

We introduce new features in the MathPartner service that have recently become available to users. We highlight the functions for calculating both arithmetic-geometric mean and geometric-harmonic mean. They allow calculating complete elliptic integrals of the first kind. They are useful for solving many physics problems, for example, one can calculate the period of a simple pendulum. Next, one can calculate the modified arithmetic-geometric mean proposed by Semjon Adlaj. Consequently, one can calculate the complete elliptic integrals of the second kind as well as the circumference of an ellipse. Furthermore, one can also calculate the Sylvester matrices of the first and the second kind. Thus, by means of a few strings, one can calculate the resultant of two polynomials as well as the discriminant of a binary form. Some new matrix functions are also added. So, today the list of matrix functions includes the transpose, adjugate, conjugate, inverse, generalized inverse, and pseudo inverse of a matrix, the matrix determinant, the kernel, the echelon form, the characteristic polynomial, the Bruhat decomposition, the triangular LDU decomposition, which is an exact block recursive LU decomposition, the QR block recursive decomposition, and the singular value decomposition. In addition, two block-recursive functions have been implemented for calculating the Cholesky decomposition of symmetric positive-definite matrices: one function for sparse matrices with the standard multiplication algorithm and another function for dense matrices with multiplication according to the Winograd--Strassen algorithm. The linear programming problems can be solved too. So, the MathPartner service has become better and handy. It is freely available at http://mathpar.ukma.edu.ua/ as well as at http://mathpar.com/.

С древности алгоритмы неразрывно связаны с математикой. Однако самостоятельное развитие теория алгоритмов получила лишь в первой половине ХХ века. Начальный период был связан с открытием как неразрешимых, так и очень трудных проблем. Например, в 1927 году Габриэль Судан опубликовал первый пример вычислимой функции, которая доказуемо не служит примитивно рекурсивной. Практическое значение асимптотических оценок вычислительной сложности стало очевидным лишь во второй половине ХХ века. Мы рассматриваем некоторые хорошо известные задачи принятия решений, которые можно решить за квазиполиномиальное время, то есть задачи, предположительно принадлежащие к промежуточному классу между полиномиальным и экспоненциальным временем. Коллекция включает в себя проверку изоморфности, вычисление исхода игры на чётность и (обоснованную в предположении справедливости обобщенной гипотезы Римана) факторизацию многочленов от одной переменной над конечными полями. Также представлены некоторые технические результаты, которые могут быть использованы для создания новых алгоритмов квазиполиномиального времени. С. 5-12.

Since ancient times, algorithms are inextricably linked with mathematics. However, the theory of algorithms received independent development only in the first half of the 20th century. The initial period was associated with discovery of unsolvable as well as very difficult problems. So, in 1927 Gabriel Sudan published the first example of a computable function that is provably not primitive recursive. The practical significance of asymptotic estimates of computational complexity became apparent only in the second half of the 20th century. We consider some well-known decision problems solvable in quasipolynomial time, that is, problems presumably belonging to the intermediate class between polynomial time and exponential time. The collection comprises isomorphism testing, solution to the parity game, and (validated under the generalized Riemann hypothesis) factorization of univariate polynomials over finite fields. We also present some technical results, which can be used to create new quasipolynomial-time algorithms.

Дан краткий обзор истории конических сечений. Рассмотрены круговые сечения эллипсоидов и гиперболоидов плоскостями, проходящими через центр поверхности. В общем случае существуют две такие секущие плоскости. Обобщая возникшее в механике твёрдого тела понятие, проходящую через центр эллипсоида прямую назовём осью Галуа, если ортогональная плоскость пересекает этот эллипсоид по окружности. Рассмотрим пучок плоскостей, проходящих через промежуточную главную ось трёхосного эллипсоида. Каждое сечение эллипсоида такой плоскостью --- это эллипс, одна из осей которого совпадает с промежуточной главной осью эллипсоида. При повороте секущей плоскости вокруг промежуточной главной оси эллипсоида длина другой оси эллипса непрерывно меняется, принимая значения между длинами малой и большой осей эллипсоида. Поэтому некоторое такое сечение - это окружность, диаметром которой служит промежуточная главная ось эллипсоида. У трёхосного эллипсоида таких сечений два. Они переходят друг в друга при зеркальном отражении относительно плоскости, проходящей через промежуточную и другую главные оси эллипсоида. Обе оси Галуа ортогональны промежуточной главной оси трёхосного эллипсоида, а для отличного от сферы эллипсоида вращения обе оси Галуа совпадают с одной осью и ортогональны другим главным осями эллипсоида. Предложен метод построения осей Галуа по известным главным осям эллипсоида. Это построение служит одним из естественных примеров геометрических задач. Кроме того, ось Галуа может быть корректно определена не только для эллипсоида (для которого она была введена изначально), но и для некоторых других классов центрально симметричных поверхностей, включая гиперболоиды. С. 59-68.

A brief overview of the history of conic sections is given. Circular sections of ellipsoids and hyperboloids with planes passing through the center of the surface are considered. In general, there are two such secant planes. Generalizing the concept that arose in rigid-body mechanics, a straight line passing through the center of an ellipsoid is called the Galois axis if the orthogonal plane intersects this ellipsoid along a circle. Let us consider the pencil of planes passing through the intermediate principal axis of a triaxial ellipsoid. Each section of an ellipsoid with such a plane is an ellipse, one of the axes of which coincides with the intermediate principal axis of the ellipsoid. When the secant plane rotates around the intermediate principal axis of the ellipsoid, the length of the other axis of the ellipse continuously changes, taking values between the lengths of the minor and major axes of the ellipsoid. Therefore, some such section is a circle whose diameter is pagebreak the intermediate principal axis of the ellipsoid. A triaxial ellipsoid has two such sections. They transform into each other when mirrored relative to the plane passing through the intermediate and other principal axes of the ellipsoid. Both Galois axes are orthogonal to the intermediate principal axis of the triaxial ellipsoid, and for a non-sphere ellipsoid of rotation, both Galois axes coincide with one axis and are orthogonal to the other principal axes of the ellipsoid. A method for constructing Galois axes from the known principal axes of an ellipsoid is proposed. This construction serves as one of the natural examples of geometric problems. In addition, the Galois axis can be correctly defined not only for the ellipsoid (for which it was originally introduced), but also for some other classes of centrally symmetric surfaces, including hyperboloids.