Статья посвящена применению численных методов решения физических задач. В качестве примера рассматривают задачу о зависимости колебаний температуры внутри помещения от суточных колебаний температуры на улице и использования отопительных приборов.

Рассмотрен пример использования творческой задачи в обучении физике, при решении которой требуется использование компьютера. Излагается решение задачи о падении стержня, прислоненного к стене. Детальное аналитическое решение этой задачи достаточно сложно. Применение компьютера облегчает процесс решения.

Данная статья посвящена исследованию модели механической системы. Авторы иллюстрируют возможность качественного исследования поведения системы при упрощении исходных уравнений с последующей проверкой получающихся результатов путем численного решения точных уравнений. (С. 52-57)

Обсуждается соотношение между аналитическими и вычислительными методами исследования математических моделей нелинейной динамики.

The relationship between analytical and computational methods of investigation of mathematical models of nonlinear dynamics is discussed.

Обсуждается соотношение между аналитическими и вычислительными методами исследования математических моделей реальных систем на примере расчета магнитных свойств металлов.

The relationship between analytical and computational methods of investigation of mathematical models of real systems is discussed for the calculation of magnetic properties of metals.

Строится иерархическая цепочка математических моделей лазер-индуцированного тромбоза в микрососудах. Феноменологическая модель Ричардсона обобщается для описания реалистических черт явления. Основное направление обобщения состоит в учете зависимости времени активации тромбоцитов от расстояния до поврежденной стенки сосуда и неоднородного распределения тромбоцитов в потоке крови в окрестности стенки. Обобщение модели соответствует основным экспериментальным результатам и теоретическим соображениям относительно процессов тромбообразования, развитым в последние годы. С. 50-61.

The hierarchical chain of mathematical models of laser – induced thrombosis in microvessels is developed. Richardson’s phenomenological model is extended to describe the realistic feature of phenomenon. The main directions of the generalization are the dependence of platelet activation time on the distance from the injured vessel wall and the non-homogeneity of the platelet distribution in blood flow in the vicinity of the vessel wall. The generalization of the model corresponds to the main experimental results and theoretical considerations concerning thrombus formation obtained in recent years.

Предложена простейшая модель, иллюстрирующая образование пространственных структур на графике траектории движения частицы в ограниченной области пространства. Модель может быть легко реализована учащимися при использовании простейших компьютерных средств. Рассмотрены две разновидности модели – движение частицы в отсутствие внешнего поля и движение в однородном внешнем поле. С. 36-43.

The simple model for illustration of spatial structures formation on the chart trajectory of the motion of particles in a bounded region of space is proposed. The model can be easily implemented by students using the simple computer tools. Two types of model are considered – motion of particle in the absence of an external field and motion in the homogeneous external field.

Предложена компьютерная модель, на основе которой могут быть наглядно продемонстрированы такие характерные особенности систем, способных к самоорганизации, как наличие многих аттракторов, в том числе хаотических, бифуркации и гистерезисные явления при адиабатическом изменении параметров. Модель представляет собой традиционно исследуемую модель бильярда, дополненную такими характерными свойствами систем, способных к самоорганизации, как диссипация энергии и восполнение энергии из внешней системы. С. 42-49.

A simulation model is proposed on the basis of which can be demonstrated such characteristic features of systems capable of self-organization, as the existence of multiple attractors, including chaotic, bifurcations, and hysteresis phenomena in adiabatic change of parameters. The model constructed as a traditional model of billiards, supplemented such characteristic properties of the systems, capable of self-organization, as the energy dissipation and the exchange of energy with the external system.

На основе использования иерархии временных масштабов Н.Н. Боголюбова строится феноменологическая модель процесса лазер-индуцированого тромбоза. Стохастический характер процесса отражается в развиваемой модели путём явного введения функции вероятности. Лежащие в основе модели положения соответствуют фундаментальным экспериментальным результатам относительно процессов тромбообразования, полученным в последние годы. Модельные кривые позволяют добиться качественного согласия между предсказаниями модели и экспериментальными данными. Производится сравнение данной модели с другими феноменологическими моделями процессов роста тромба: показано, что многие черты явления могут быть описаны в основном в терминах физических, а не биологических понятий. С. 12-22.

Phenomenological mathematical model of laser-induced thrombi growth is developed on the basis of N.N. Bogolubov’s hierarchy of time scales. The stochastic character of thrombi growth is revealed in the model by explicit introduction of the probability function. The main foundations of the model correspond to the basic experimental results concerning thrombus formation obtained in recent years. The modeling curves permit to achieve qualitative agreement between model and experimental data. The comparison of the model with other models of thrombus growth is performed: it is shown that many features of the phenomenon can be described mainly in terms of physics but not biological terms.

Рассматривается модель, основанная на классическом движении частицы в области, ограниченной стенками, с которыми частица может обмениваться энергией при столкновениях, теряя или приобретая энергию в зависимости от температуры стенки. Как показывает моделирование, при наличии градиента температуры в такой модели возможны процессы типа процессов самоорганизации, так что траектория движения частицы в фазовом пространстве с течением времени стремится к некоторым простейшим циклическим аттракторам. Математическая простота модели позволяет использовать её в процессе обучения, поскольку требует от обучаемых минимальных навыков программирования. С. 38-44.

The model based on the classical movement of a particle in the area limited by walls, that can exchange energy with the particle is considered. The energy of the particle can increase or decrease depending of the temperature of the wall. As shows modeling, in the presence of temperature gradient in such model this system can contain processes which are analogical to processes of self-organization. Namely the trajectory of particle in phase space tends to one of elementary cyclic attractors. Mathematical simplicity of model allows to use her in the course of training because it demands from the trained minimum skills of programming.

Рассматриваются простейшие компьютерные учебные модели, демонстрирующие свойства систем, способных к самоорганизации. Модели представляют собой цепочку шаров, двигающихся поступательно вдоль одной прямой. Предполагается, что при столкновении шаров действуют силы неупругой деформации, что обеспечивает диссипацию энергии. Восполнение энергии обеспечивается при столкновении со стенками, сообщающими шарам дополнительную энергию. Исследование модели в учебном процессе позволяет продемонстрировать такие свойства, как бифуркации при изменении управляющего параметра и гистерезис. Математическая простота моделей позволяет использовать их в процессе обучения, поскольку требует от обучаемых минимальных навыков программирования. С. 27-34.

In this paper we consider the simplest computer educational models that demonstrate the properties of systems capable of self-organization. The models are a pagebreak chain of balls moving progressively along a straight line. It is assumed that in the collision of the balls act inelastic deformation forces, which ensures energy dissipation. Energy replenishment is provided by colliding with the walls, which impart additional energy to the balls. The study of the model in the educational process allows us to demonstrate such properties as bifurcations by changing the control parameter and hysteresis. The mathematical simplicity of the models allows them to be used in the learning process, since they require minimal programming skills from the students.

Предлагается модель, демонстрирующая свойства самоорганизующихся систем и основанная на двумерном движении взаимодействующих частиц. Попарное взаимодействие между частицами описывается потенциалом Ленарда-Джонса. Необходимое для самоорганизации свойство диссипативности обеспечивается введением зависящих от скоростей сил, возникающих при столкновении частиц. Влияние внешней среды описывается постепенным ослаблением («старением») связей между частицами при их объединении в структуры. Результаты численных расчетов иллюстрируют все особенности способных к самоорганизации систем: образование структур из первоначального хаотического состояния и последующая эволюция с постоянным распадом имеющихся структур и образованием новых структур. Подобные свойства характерны, например, для структур живой материи. С. 44-51.

A model demonstrating the properties of self-organizing systems and based on two-dimensional motion of interacting particles is proposed. The pairwise interaction between particles is described by the Lenard-Jones potential. The dissipativity property which is necessary for self-organization is provided by the introduction of velocity-dependent forces arising in the collision of particles. The influence of the external environment is described by the gradual weakening (“aging”) of the bonds between the particles, when they are combined into structures. The results of numerical calculations illustrate all the features of systems capable of self-organization: the formation of structures from the initial chaotic state and subsequent evolution with the constant decay of existing structures and the formation of new structures. Such properties are typical, for example, for the structures of living matter.

Предлагается учебная модель, описывающая развитие эпидемии в некотором ограниченном сообществе особей. Основная «жесткая» модель содержит лишь один параметр, что позволяет применять её в учебном процессе в качестве задачи по математическому моделированию. Обсуждаются качественные выводы, следующие из численных расчетов по этой модели. Обсуждается также «смягчение» модели, что позволяет качественно проанализировать некоторые аспекты применительно к эпидемии, развивающейся в человеческом обществе. C. 19-27.

A training model describing the development of the epidemic in a limited community of individuals is proposed. The main “rigid” model contains only one parameter, which allows it to be used in the educational process as an exercise in mathematical modeling. Qualitative conclusions resulting from numerical calculations based on this model are discussed. We also discuss the “softening” of the model, which allows us to qualitatively analyze some aspects in relation to the epidemic developing in human society.

Предлагается учебная модель, описывающая экономические циклы, за основу которой взята известная модель Гудвина. Описывается модификация модели с целью возможности постановки численного эксперимента при обучении моделированию с использованием компьютера. Показано, что численные результаты, полученные при использовании предлагаемой модели, хорошо соответствуют аналитическому анализу свойств модели Гудвина, который обычно приводится в литературе. C. 5-16.

A training model describing economic cycles, based on the well-known Goodwin model is proposed. The modification of the model is described, that allow to use it to carry out numerical experiment in teaching course of modeling with the help of computer. It is shown that the numerical results obtained using the proposed model correspond well to the analytical analysis of the properties of the Goodwin model, which is usually given in the literature.

Рассматривается модель тороидального спутника в предельном случае, когда большой радиус тора (расстояние от центра образующей окружности до оси вращения) много больше его малого радиуса (радиуса образующей окружности). На основе метода Лагранжа проводится вывод уравнений движения. Показано, что полученные математические уравнения, описывающие вращательное движение, не содержат малых параметров, откуда следует, что приливные силы оказывают существенное влияние на вращательное движение спутника. Численные решения полученных уравнений могут быть исследованы учащимися на основе использования процедур решения дифференциальных уравнений, имеющихся в средах MATLAB и Octave. Численный эксперимент в сочетании с аналитическими методами исследования этих уравнений показывает, что при достаточно быстром вращении спутника вокруг оси симметрии, его ориентационное движение стабилизируется и становится квазипериодическим. С. 5-16.

The model of a toroidal satellite is considered in the limiting case when the major radius of the torus (the distance from the center of the tube to the center of the torus) is much larger than its minor radius (the radius of the tube).Based on the Lagrange method, the equations of motion are derived. It is shown that the obtained mathematical equations describing the rotational motion do not contain small parameters, which implies that tidal forces have a significant effect on the rotational motion of the satellite. Numerical solutions of the obtained equations can be studied by students based on the use of differential equation solving procedures available in MATLAB and Octave environments. Numerical experiment in combination with analytical methods for studying these equations shows that with a sufficiently fast rotation of the satellite around the axis of symmetry, its orientation motion stabilizes and becomes quasi-periodic.

Предлагается простейшая модель искусственного спутника Земли, на основе которой может быть исследовано влияние приливных сил на вращательное движение спутника. Показано, что математические уравнения, описывающие вращательное движение, не содержат малых параметров, откуда следует, что приливные силы оказывают существенное влияние на вращательное движение спутника. Численные решения полученных уравнений могут быть исследованы учащимися на основе использования процедур решения дифференциальных уравнений, имеющихся в средах MATLAB и Octave. Подобные численные эксперименты позволяют судить об устойчивости движений спутника в зависимости от заданных начальных состояний. С. 5-17.

The simplest model of an artificial satellite of the Earth is proposed, on the basis of which the influence of tidal forces on the rotational motion of the satellite can be studied. It is shown that the mathematical equations describing the rotational motion do not contain small parameters. The absence of such parameters means that tidal forces have a significant effect on the rotational motion of the satellite. Numerical solutions of the obtained equations can be studied by students based on the use of procedures for solving differential equations available in MATLAB and Octave environments. Such numerical experiments allow us to judge the stability of the satellite’s movements depending on the given initial states.

Предлагается модель, демонстрирующая свойства самоорганизующихся систем и основанная на двумерном движении взаимодействующих частиц. Попарное взаимодействие между частицами описывается потенциалом Ленарда-Джонса. Необходимое для самоорганизации свойство диссипативности обеспечивается введением зависящих от скоростей сил, возникающих при столкновении частиц. Влияние внешней среды описывается постепенным ослаблением («старением») связей между частицами при их объединении в структуры. Результаты численных расчетов иллюстрируют все особенности способных к самоорганизации систем: образование структур из первоначального хаотического состояния и последующая эволюция с постоянным распадом имеющихся структур и образованием новых структур. Подобные свойства характерны, например, для структур живой материи. С. 44-51.

A model demonstrating the properties of self-organizing systems and based on two-dimensional motion of interacting particles is proposed. The pairwise interaction between particles is described by the Lenard-Jones potential. The dissipativity property which is necessary for self-organization is provided by the introduction of velocity-dependent forces arising in the collision of particles. The influence of the external environment is described by the gradual weakening (“aging”) of the bonds between the particles, when they are combined into structures. The results of numerical calculations illustrate all the features of systems capable of self-organization: the formation of structures from the initial chaotic state and subsequent evolution with the constant decay of existing structures and the formation of new structures. Such properties are typical, for example, for the structures of living matter.

Обсуждаются различные формы соотношения между аналитическими и численными методами при математическом моделировании реальных явлений. В качестве примера рассматривается построение, качественное исследование и численный расчёт математической модели простой консервативной механической системы. С. 46-52.

Different aspects of relations between analytical and numerical methods in mathematical modeling of real phenomena are discussed. The creation, the qualitative investigation, and the numerical calculation of a simple conservative mechanical system’s mathematical model are presented.

Рассматривается простейшая механическая система, эволюция которой в фазовом пространстве описывается странным аттрактором. Численные расчеты показывают, что, в зависимости от параметров системы, фазовая траектория системы трансформируется от предельного цикла к фазовому аттрактору и обратно.

Approach and program implementation of the high interactive Java-applets intended forA simple mechanical system which evolution in phase space describes by a strange attractor is considered. Numerical calculation shows that phase trajectory can transform from limited circle to strange attractor and back to limited circle when the set of parameters of the system changes.

Статья посвящена моделированию на компьютере реальных физических процессов. Рассматривается решение задачи, которая принципиально не может быть решена аналитическими методами, что позволяет показать возможности компьютерного моделирования.

В этой работе рассматривается вопрос о соотношении аналитических и численных методов исследования математических моделей реальных явлений. Авторы отстаивают ту точку зрения, что обучение основам математического моделирования должно отражать обе тенденции современного к нему подхода: как умение проведения качественного анализа, так и умение нахождения численных решений.