Бутиков Евгений Иванович

Бутиков Евгений Иванович
Eugene I. Butikov

E-mail: eugene.butikov@gmail.com

Профессор физического факультета СПбГУ

Saint-Petersburg State University, Faculty of Physics, professor

Статьи автора:

Данная статья, как и моделирующая программа, нацелены на объяснение физических принципов приливных явлений. Приводится качественная картина физического происхождения приливных сил, обсуждается деформации поверхности океана.

Автор рассуждает о возможностях компьютерного моделирования в преподавании физики. Помимо общих положений относительно роли моделирования, автор приводит примеры из собственной практики. При этом используются многочисленные примеры из статей Е.И. Бутикова в журналах "Компьютерные инструменты в образовании" за 1999 и 2001 годы.

Автор представляет моделирующую компьютерную программу пакета "Движение космических тел", иллюстрирующую первый закон Кеплера. При этом траектория планеты строится путем численного интегрирования уравнений движения, затем программа проверяет ту или иную закономерность. Также программа позволяет экспериментировать с относительным движением орбитальных тел.

Автор рассматривает возможности компьютерного моделирования на примере исследования колебаний в различных системах. Приведены примеры вычислительных экспериментов по нескольким сюжетам.

Для твердого тела только поступательное движение по инерции (то есть движение, при котором тело не вращается) будет достаточно простым. Если же тело вращается, его движение даже в отсутствие внешних сил может быть значительно более сложным. Проиллюстрировать характерные черты \\\"вращения по инерции\\\" призвана небольшая моделирующая компьютерная программа (Java-апплет), помещенная на прилагаемом к журналу компакт-диске.

В предыдущих статьях автора о маятнике с осциллирующим подвесом дано наглядное физическое объяснение явления динамической стабилизации перевернутого маятника [1] и установлена генетическая связь параметрических субгармонических резонансов с условиями динамической стабилизации [2]. В данной статье на основе указанной связи получены уточненные значения нижней и верхней границ динамической стабилизации, справедливые в более широкой области параметров системы. В частности, полученные границы устойчивости справедливы при сравнительно низких частотах осцилляций подвеса маятника, когда метод разделения быстрых и медленных движений не работает, и традиционный критерий устойчивости перевернутого маятника неприменим. Приводятся результаты компьютерного моделирования, подтверждающие расширенный критерий устойчивости.

In preceding papers of the author about the pendulum with an oscillating pivot a clear physical explanation of the dynamic stabilization of an inverted pendulum was presented [1], and a close relationship between subharmonic parametric resonances and conditions of dynamic stabilization was established [2]. In the present paper, on the basis of this relationship, more exact values of the lower and upper boundaries of dynamic stabilization are obtained. These values are valid in a wider region of the system parameters than previous results. In particular, the established boundaries are applicable for relatively low frequencies, for which separation of rapid and slow motions is inadmissible, and the commonly known criterion of the inverted pendulum stability does not work. Computer simulation of the physical system aids the analytical investigation and proves the enhanced criterion of dynamic stability.

Ключевые слова: параметрический резонанс, перевернутый маятник, динамическая стабилизация, субгармонические резонансы, фазовая синхронизация, компьютерное моделирование.
Keywords: parametric resonance, inverted pendulum, dynamic stabilization, subharmonic resonances, phase locking, computer simulation.

В статье рассматривается параметрическое возбуждение простого жесткого маятника путем периодической модуляции его длины по кусочно-постоянному закону. Такую систему можно рассматривать как простейшую модель детских качелей. Аналитическое исследование физической системы сопровождается компьютерным моделированием. Детально обсуждаются превращения энергии, порог возбуждения и другие характеристики параметрического резонанса. Отмечается роль нелинейных эффектов в ограничении размаха резонансных колебаний. Дается представление о роли обратной связи, о фазовой синхронизации и о явлении параметрического авторезонанса. С. 33-44.

Parametric excitation of a rigid planar pendulum caused by a square-wave modulation of its length is investigated both analytically and with the help of computer simulations. Such a system can be considered as a simple model of a playground swing. Transformations of energy, the threshold of excitation and other characteristics of parametric resonance are discussed in detail. The role of nonlinear properties of the pendulum in restricting the resonant swinging is emphasized. The feedback providing optimal control of pumping and damping is analyzed. Phase locking between the drive and the pendulum at large amplitudes and the phenomenon of parametric autoresonance are discussed.

Ключевые слова: параметрический резонанс, порог возбуждения, бифуркации, оптимальное управление, фазовая синхронизация, компьютерное моделирование.
Keywords: parametric resonance, threshold of excitation, bifurcations, optimal control, phase locking, computer simulations.

В первой части этой статьи [1] были рассмотрены основные особенности параметрического возбуждения простого жесткого маятника путем периодической модуляции его длины. Был найден порог возбуждения и установлена роль нелинейных эффектов в ограничении размаха резонансных колебаний. Во второй части статьи исследуется зависимость частотных границ интервалов параметрической неустойчивости от глубины модуляции длины и от добротности маятника. Исследованы стационарные колебания, происходящие на границах интервалов неустойчивости. С. 21-37.

The first part of this paper [1] dealt with the principal peculiarities of parametric excitation of a rigid planar pendulum caused by a square-wave modulation of its length. The threshold of excitation was found and the role of nonlinear properties of the pendulum in restricting the resonant swinging was considered. In the second part of the paper the frequency boundaries of parametric instability are determined as functions of the modulation depth and the quality factor. Stationary oscillations at these boundaries are investigated.

Ключевые слова: параметрический резонанс, интервалы неустойчивости, фазовая синхронизация, компьютерное моделирование.
Keywords: parametric resonance, ranges of excitation, phase locking, computer simulations.

В статье аналитически и с помощью компьютерного моделирования исследуются вынужденные колебания механического осциллятора с сухим трением при синусоидальном возбуждении на нерезонансных частотах. В общем случае в результате переходного процесса сухое трение (как и вязкое трение) приводит к режиму установившихся колебаний – предельному циклу, – характеристики которого не зависят от начальных условий. Однако интересные особенности отклика осциллятора с сухим трением обнаруживаются при его возбуждении на субгармонических частотах (w = w0 /n). В частности, при одних и тех же параметрах системы сосуществует множество режимов асимметричных колебаний, зависящих от начальных условий. С. 33-48.

Forced oscillations of a torsion spring pendulum with dry friction under non-resonant sinusoidal forcing are investigated both analytically and with the help of computer simulations. Strong enough dry friction (as well as viscous friction) causes transients that typically lead to definite limit cycles – periodic steady-state regimes of symmetric non-sticking forced oscillations which are independent of initial conditions. However, at subharmonic (w = w0 /n) frequencies of excitation interesting peculiarities of the steady-state response are revealed such as multiple coexisting regimes of asymmetric oscillations that depend on initial conditions.

Ключевые слова: сухое трение, вынужденные колебания, синусоидальное возбуждение, субрезонансное возбуждение, порог возбуждения.
Keywords: dry friction, forced oscillations, sinusoidal forcing, resonance, sub-resonant forcing, threshold of excitation, limit cycles, multistability.

В работе аналитически и с помощью компьютерного моделирования исследуются собственные и резонансные вынужденные колебания торсионного пружинного осциллятора с сухим и вязким трением. Используется упрощенная (кулоновская) математическая модель сухого трения, которая, тем не менее, позволяет успешно объяснить многие особенности поведения различных колебательных систем с сухим трением. Показано, что под действием сухого трения амплитуда собственных колебаний убывает со временем по линейному закону, и движение осциллятора полностью прекращается после совершения конечного числа циклов. Амплитуда вынужденных колебаний осциллятора с сухим трением при резонансном синусоидальном возбуждении неограниченно возрастает, если превышен порог возбуждения. Во второй части статьи рассмотрены особенности вынужденных колебаний, возбуждаемых на нерезонансных и субрезонансных частотах. С. 28-47.

Natural (unforced) and resonant forced oscillations of a torsion spring oscillator with dry friction are investigated both analytically and with the help of computer simulations. A simplified mathematical model of dry friction (Coulomb friction) is used, which nevertheless successfully explains many peculiarities in behavior of various oscillatory systems with dry friction. We show that the amplitude of natural oscillations diminishes under dry friction linearly with time, and the motion of the oscillator stops dead after a finite number of cycles. The amplitude of forced oscillations excited by the sinusoidal external torque grows indefinitely if the threshold of excitation is exceeded. The second part of the paper deals with the peculiarities of forced oscillations excited at non-resonant and sub-resonant frequencies.

Ключевые слова: сухое трение, собственные колебания, синусоидальное возбуждение, резонанс, вынужденные колебания, порог возбуждения.
Keywords: dry friction, natural oscillations, sinusoidal forcing, resonance, forced oscillations, threshold of excitation.

Обсуждаются разные возможности запуска космического зонда с орбитальной платформы на резонансную орбиту. Зонд должен приблизиться к поверхности планеты, чтобы исследовать ее с малой высоты, или изучить отдаленные области космоса, двигаясь по орбите с высоким апогеем. После выполнения миссии зонд должен вернуться на орбитальную станцию и мягко пристыковаться к ней. Простой количественный анализ необходимых маневров базируется в статье на фундаментальных законах физики, принципах сохранения энергии и момента импульса, а также на законах Кеплера. Рассматриваемые примеры движений зонда иллюстрируются сопровождающей статью моделирующей программой. Материал подходит для специалистов в области астродинамики и орбитальной механики, а также для широкого круга читателей, интересующихся освоением космоса (на англ.). С. 16-30.

Various possibilities for launching a space probe from an orbital platform to a resonant orbit are discussed. The probe is to approach the surface of the planet in order to explore it from a low altitude or to investigate far off space regions moving on an orbit with a high apogee. After the mission is fulfilled, the probe is to return to the orbital station and softly dock to it. In this paper, the simple quantitative analysis of the required maneuvers is based on the fundamental laws of physics, the principles of conservation of energy and angular momentum, and also on the laws of Kepler. The examples of probe movements examined are illustrated by the modeling program accompanying the article. The material is suitable for specialists in the field of astrodynamics and orbital mechanics, as well as for a wide range of readers interested in space exploration.

Ключевые слова: космические исследования, астродинамика, резонансные орбиты, период обращения, импульсные маневры, мягкая стыковка.
Keywords: space exploration, astrodynamics, resonant orbits, period of revolution, impulsive maneuvers, soft docking.

Статья продолжает материалы из журнала № 3/4 за 2001 год. Автор представляет моделирующую компьютерную программу пакета "Движение космических тел", на примере задачи многих тел. Траектория движения тел строится путем численного интегрирования уравнений движения.

Статья знакомит с физическими принципами параметрического возбуждения колебаний на наглядном примере простой механической системы: торсионного линейного осциллятора, момент инерции которого принудительно изменяется по заданному периодическому закону. Обсуждаются общие закономерности параметрических колебаний в линейных системах, условия возбуждения и особенности параметрического резонанса. Прилагаемая к статье моделирующая программа позволяет наглядно продемонстрировать все изучаемые явления и проверить экспериментально полученные теоретические закономерности.

The phenomenon of parametric resonance in a linear torsion spring oscillator caused by a square-wave modulation of its moment of inertia is explained and investigated both analytically and with the help of a computer simulation. Characteristics of parametric resonance and regeneration are found and discussed in detail. Ranges of frequencies within which parametric excitation is possible are determined. Stationary oscillations at the boundaries of these ranges and at the threshold conditions are investigated.

Ключевые слова: линейный осциллятор, параметрическое возбуждение, модуляция, порог возбуждения, интервалы неустойчивости, параметрическая регенерация.

Кратко обсуждаются встречающиеся в литературе распространенные заблуждения о приливах. Предлагается физически прозрачный простой, но строгий вывод выражений для приливообразующих сил, сопровождающийся динамической интерпретацией приливной волны в упрощенной модели океана как водной оболочки равной глубины, полностью покрывающей земной шар. Новизна нашего подхода заключается в представлении приливообразующих сил в виде двух квадрупольных систем осциллирующих сил, оси симметрии которых составляют угол 45 градусов друг с другом. Динамическая реакция океана на эти зависящие от времени силы рассматривается как стационарное вынужденное колебание линейной системы. Изложение рассчитано на широкий круг читателей, включая энтузиастов, интересующихся этим явлением. Разработан комплекс моделирующих программ, облегчающих понимание явления приливов, представляющего большой интерес из-за его космической природы. С. 12-34 (на англ.).

Common misconceptions about tides encountered in the literature are briefly discussed. A physically transparent simple but rigorous derivation of tide-generating forces is suggested, followed by a dynamical treatment of the tidal wave in a simplified model of the ocean as a water shell of equal depth wholly covering the globe. Novelty of our approach consists in representing tide-generating forces as two quadrupole systems of oscillating forces with axes of symmetry making 45 degrees angle with one another. The dynamical response of the ocean to these time-dependent forces is found as steady-state forced oscillations in a linear system. The treatment is appropriate for a wide readership, including non-specialists and enthusiasts interested in the phenomenon. A set of simulations is developed to help understanding the phenomenon of tides, which is of great general interest due to its cosmic nature.

Ключевые слова: приливные силы, неинерциальные системы отсчета, приливные вздутия, вынужденные колебания океана, приливные волны, фазовое запаздывание.
Keywords: tide-generating forces, reference frames, tidal bulges, forced oscillations, tidal wave, phase lag.

Колебания простого жесткого маятника с предельно большими амплитудами, близкими к 180°, трактуются на основе физически оправданного приближения, заключающегося в разделении полного цикла колебаний на несколько частей. Бульшая часть почти замкнутого кругового пути груза маятника аппроксимируется лимитационным движением, а движение в малой окрестности перевернутого положения описывается с помощью линеаризованного дифференциального уравнения. Такой подход позволяет лучше понять динамику поведения нелинейных физических систем. Полученное на его основе простое аналитическое выражение для периода колебаний с предельно большой амплитудой дает значения, очень близкие к тем, что следуют из точной формулы, основанной на полном эллиптическом интеграле первого рода K(q).

Large oscillations of a simple rigid pendulum with amplitudes close to 180 degrees are treated on the basis of a physically justified approach in which the cycle of oscillation is divided into several stages. The major part of the almost closed circular path of the pendulum is approximated by the limiting motion, while the motion in the vicinity of the inverted position is described on the basis of the linearized equation. The accepted approach provides additional insight into the dynamics of nonlinear physical systems. The final simple analytical expression gives the values for the period of large oscillations that coincide with high precision with the values given by the exact formula based on the complete elliptic integral of the first kind.

Ключевые слова: простой маятник, фазовая траектория, лимитационное движение, линеаризованное уравнение, компьютерное моделирование.
Keywords: Simple pendulum, phase trajectory, limiting motion, separatrix, linearized equation, computer simulation.

Гироскопом называют тело вращения (например, массивный диск), приведенное в быстрое вращение вокруг оси симметрии. Первое знакомство с гироскопом обычно происходит в раннем детстве при наблюдении за необычным поведением известной игрушки – детского волчка или юлы. Пока волчок быстро вращается, он может устойчиво стоять на остром конце своей оси, сохраняя вертикальное положение оси и не падая на горизонтальную плоскость, хотя центр тяжести волчка расположен выше точки опоры. Если же ось вращающегося волчка отклонена от вертикали, то под действием силы тяжести ось описывает в пространстве круговой конус с вертикальной осью, так что угол наклона оси остается неизменным. Такое движение волчка называют вынужденной прецессией. В данной статье приводится краткое теоретическое объяснение вынужденной прецессии, которое иллюстрируется небольшой моделирующей компьютерной программой «Вынужденная прецессия гироскопа». Эта программа (Java-апплет) не требует предварительной установки на компьютер, а выполняется непосредственно в браузере (с подключенной к нему виртуальной Java-машиной).

В традиционном вузовском и школьном образовании уделяется недостаточное внимание поведению нелинейных систем из-за сложности аналитических методов их исследования. В таких случаях моделирование явления может рассказать нам больше, чем математика. Так, хорошо всем нам известный маятник, будучи нелинейной системой, может обнаружить большое число необычных и не всегда до конца исследованных видов движения.

Traditional educational system doesn't pay a lot of attention on the nonlinear systems because of its complexity. In these cases modeling of the physical phenomenon can help much better then mathematics. Thus an ordinary pendulum being a nonlinear system can evoke a variety of unusual motions

Ключевые слова: Нелинейные системы, маятник.

Keywords: nonlinear systems, pendulum

В статье продолжается обсуждение разнообразных экзотических режимов колебаний и переворотов жесткого маятника в поле тяжести, подверженного воздействию синусоидального внешнего момента, начатое в № 1 за 2008 г. Описываемые режимы можно наблюдать с помощью моделирующей компьютерной программы, помещенной на диске, прилагаемом к журналу № 1 за 2008 г. Кроме режимов, обсуждаемых в статье, программа содержит множество других заранее приготовленных примеров необычных периодических и хаотических режимов. Программу можно использовать также для обнаружения новых, еще не известных движений этой простой, но поистине неисчерпаемой физической системы.

The article continues discussion about oscillation of the rigid pendulum driven by a sinusoidal force. All regimes described in the article can be reproduced with the help of the computer modeling program. In addition to the regimes shown in the article the program contains a lot of examples of unusual chaotic and cyclic regimes. This program can be also used to identify other unknown motions of the pendulum

Ключевые слова: Маятник, периодический режим, хаотический режим.

Keywords: chaotic regime, cyclic regime, pendulum

В предыдущей статье автора [1] было приведено описание параметрического резонанса для простого жесткого маятника с осциллирующим подвесом и дано наглядное физическое объяснение явления динамической стабилизации перевернутого маятника. В этой статье рассматриваются условия возникновения в такой системе субгармонических резонансов, обсуждается их связь с динамической стабилизацией перевернутого маятника и получен уточненный критерий стабилизации. Установлена связь верхнего предела устойчивости перевернутого маятника с явлением параметрического резонанса, то есть с потерей устойчивости нижнего положения. Компьютерное моделирование физической системы и аналитическое исследование взаимно дополняют и обогащают друг друга.

A simple physical explanation is suggested for parametric resonance caused by constrained vertical oscillations of the pivot. The phenomenon of dynamic stabilization of the inverted pendulum whose pivot is constrained to oscillate with a high frequency is considered in detail. A computer program simulating the physical system aids the analytical investigation of the subject in a manner that is mutually reinforcing.

Ключевые слова: маятник Капицы, перевернутый маятник, параметрический резонанс, динамическая стабилизация, критерий устойчивости
Keywords: oscillations, parametric resonance, inverted pendulum, dynamic stabilization, stability criterium, effective potential.

В статье приведен простой геометрический вывод границы «области безопасности» в случае семейства кеплеровых орбит спутников или баллистических снарядов, движущихся в центральном поле тяготения, и в случае семейства параболических траекторий снарядов, запущенных в однородном поле тяжести из общей начальной точки с равными скоростями. Рассмотрены примеры практического применения огибающей семейства орбит для решения задач баллистики. Приведенные примеры иллюстрируются компьютерным моделированием. С. 50-65.

The paper presents a simple geometric derivation for the “safety domain” boundary for the family of Keplerian orbits of satellites or ballistic missiles, moving in a central field of gravity, and for the family of parabolic trajectories of projectiles in a uniform gravitational field launched from a common starting point at equal velocities. Examples of practical application of the envelope of a family of orbits for solving ballistics problems are discussed. These examples are illustrated by computer simulations.

Ключевые слова: область безопасности, кеплеровы орбиты, фокусы эллипса, эллиптическое зеркало, баллистические траектории.
Keywords: safety domain, Keplerian orbits, foci of the ellipse, elliptical mirror, ballistic trajectories.

В статье приведено наглядное физическое объяснение параметрического резонанса, вызываемого принудительными вертикальными колебаниями точки подвеса маятника. Подробно рассмотрено явление динамической стабилизации перевернутого маятника при быстрых осцилляциях подвеса. Компьютерное моделирование и аналитическое исследование взаимно дополняют и обогащают друг друга, способствуя пониманию сложного поведения маятника.

A simple physical explanation is suggested for parametric resonance caused by constrained vertical oscillations of the pivot. The phenomenon of dynamic stabilization of the inverted pendulum whose pivot is constrained to oscillate with a high frequency is considered in detail. A computer program simulating the physical system aids the analytical investigation of the subject in a manner that is mutually reinforcing.

Ключевые слова: колебания, параметрический резонанс, перевернутый маятник, динамическая стабилизация, критерий устойчивости, эффективный потенциал.
Keywords: oscillations, parametric resonance, inverted pendulum, dynamic stabilization, stability criterium, effective potential.

В статье приведено физическое объяснение явления параметрического резонанса и его аналитическое исследование, подкрепленное компьютерным моделированием. Параметрическое возбуждение колебаний изучается на наглядном примере простой механической системы: торсионного линейного осциллятора, момент инерции которого плавно изменяется по заданному периодическому закону. Получены условия возбуждения и характеристики параметрического резонанса, обсуждается режим параметрической регенерации. Найдены частотные интервалы, в пределах которых возможно параметрическое возбуждение. Исследованы стационарные колебания на границах интервалов параметрической неустойчивости. Характеристики резонансов высших порядков объясняются в терминах знакомого явления частотной модуляции колебаний. Моделирующая программа и аналитическое исследование взаимно дополняют друг друга, способствуя лучшему пониманию основных принципов и особенностей параметрического резонанса.

The phenomenon of parametric resonance is explained and investigated both analytically and with the help of a computer simulation. Parametric excitation is studied on the example of the rotary oscillations of a simple linear system - mechanical torsion spring pendulum excited by smooth periodic variations of its moment of inertia. Conditions and characteristics of parametric resonance and regeneration are found and discussed in detail. Ranges of frequencies within which parametric excitation is possible are determined. Stationary oscillations at the boundaries of these ranges are investigated. Resonances of higher orders are explained in terms of the familiar phenomenon of frequency modulation. The simulation experiments aid greatly an understanding of basic principles and peculiarities of parametric excitation and complement the analytical study of the subject in a manner that is mutually reinforcing.

Ключевые слова: линейный осциллятор, параметрическое возбуждение, модуляция параметра, порог возбуждения, интервалы неустойчивости, параметрическая регенерация, частотная модуляция колебаний.
Keywords: linear oscillator, parametric excitation, modulation, threshold of excitation, intervals of instability, parametric regeneration, frequency modulation.

Для пополнения баланса выберите страну, оператора и отправьте СМС с кодом на указанный номер. Отправив одну смс, вы получаете доступ к одной статье.

Закрыть