Рассматривается минимаксная задача размещения точечного объекта в трехмерном пространстве с прямоугольной метрикой (l₁-метрикой) и предлагается ее прямое аналитическое решение при помощи методов тропической (идемпотентной) математики. Сначала задача записывается в терминах тропической математики как задача тропической оптимизации, вводится параметр для обозначения минимума целевой функции, и задача сводится к решению параметризованной системы неравенств. Эта система решается относительно одной из переменных, а условия существования решений используются для нахождения оптимальных значений второй переменной с помощью вспомогательной задачи оптимизации. Затем вспомогательная задача решается аналогичным образом, и находится значение третьей переменной. Полученное общее решение преобразуется в набор прямых решений, записанных в компактной форме для различных случаев соотношений между исходными параметрами задачи. С. 31-50.

The minimax problem of placing a point object in a three-dimensional space with a rectangular metric (l₁-metric) is considered and its direct analytical solution is proposed using the methods of tropical (idempotent) mathematics. First, the problem is written in terms of tropical mathematics as a problem of tropical optimization, a parameter is introduced to denote the minimum of the objective function and the problem reduces to solving a parametrized system of inequalities. This system is solved with respect to one of the variables, and the conditions for the existence of solutions are used to find the optimal values of the second variable using an auxiliary optimization problem. Then the auxiliary problem is solved in a similar way and the value of the third variable is found. The obtained general solution is transformed into a set of direct solutions written in a compact form for different cases of relationships between the initial parameters of the problem.

Рассматривается задача оценки рейтингов (приоритетов, весов) альтернатив на основе результатов парных сравнений в соответствии с двумя критериями. Описывается формальное построение и вычислительные процедуры решения задачи с использованием методов тропической математики, которая изучает алгебраические системы со специальным образом определенными операциями сложения и умножения. Задача сводится к одновременной аппроксимации двух матриц парных сравнений общей согласованной матрицей в метрике Чебышева в логарифмической шкале. Сначала вводятся вспомогательные переменные для обозначения минимумов целевых функций и составляется параметризованное неравенство, которое определяет множество решений исходной задачи оптимизации. Необходимые и достаточные условия существования решений неравенства используются для определения значений параметров, соответствующих Парето-фронту задачи. Все решения неравенства при найденных значениях параметров берутся в качестве Парето-оптимального решения задачи. Для иллюстрации применяемых вычислительных процедур приводятся численные примеры определения рейтингов альтернатив для задач с матрицами третьего порядка. С. 15-32.

The problem of evaluating the ratings (priorities, weights) of alternatives based on the results of pairwise comparisons in accordance with two criteria is considered. The formal construction and computational procedures for solving the problem are described, using methods of tropical mathematics, which studies algebraic systems with specially defined operations of addition and multiplication. The problem is reduced to the simultaneous approximation of two matrices of pairwise comparisons by a common consistent matrix, in the Chebyshev metric in logarithmic scale. First, auxiliary variables are introduced to represent the minima of the objective functions, and a parameterized inequality is derived, which determines the set of solutions to the original optimization problem. The necessary and sufficient conditions for the existence of solutions of the inequality are used to determine the values of the parameters, which correspond to the Pareto front of the problem. All solutions of the inequality for the obtained values of the parameters are taken as a Pareto-optimal solution for the problem. To illustrate the computational procedures used, numerical examples of evaluating ratings of alternatives are given for problems with matrices of the third order.

Рассматриваются известные в литературе задачи оценки рейтингов альтернатив на основе парных сравнений. Для решения задач применяются три метода, включая традиционные метод анализа иерархий Т. Саати и метод взвешенных геометрических средних, а также новый метод минимаксной log-чебышевской аппроксимации, для которого решение находится при помощи аппарата и методов тропической (идемпотентной) математики. Сравнение полученных решений демонстрирует, что применение различных методов не всегда приводит к одинаковым или близким результатам. Если результаты различных методов значительно расходятся, выбор одного из них для принятия решения представляется не вполне обоснованным. Наоборот, совпадение или близость таких результатов может рассматриваться как некоторый дополнительный аргумент в пользу выбора одного из них в качестве решения, близкого к оптимальному. С. 27-58.

Problems known in the literature are considered for evaluating ratings of alternatives based on pairwise comparisons. To solve the problems, three methods are used, including the traditional method of of analysis of hierarchies by T. Saaty and the method of weighted geometric means, as well as the new method of minimax log-Chebyshev approximation, for which the solution is obtained using the apparatus and methods of tropical (idempotent) mathematics. Comparison of the solutions obtained shows that the use of different methods does not always lead to the same or close results. If the results of different methods differ significantly the choice of one of them for making a decision does not seem entirely justified. On the contrary, the coincidence or similarity of these results can be considered as some additional argument in favor of choosing one of them as a solution close to the optimum.