Цель нашей статьи - пояснить компьютерную анимацию строго критического движения твердого тела, которую не следует путать с каким-либо другим движением в её «окрестности», каким бы близким оно ни было. Мы продемонстрируем, что (локальная) «теорема о единственности» терпит крах в случае критического движения, область определения (времени) которого должна быть компактифицирована присоединением точки (комплексной) бесконечности. Два (противоположных друг другу) «переворачивания» соответствуют одному и тому же (начальному) вращению (строго) относительно оси, с промежуточным моментом инерции, или по ходу часовой стрелки или против неё. Эти две симметричные смены направления промежуточной оси (инерции), первоначально согласующиеся с направлением (фиксированного) углового момента, а затем противонаправлены ему, разделяют одну и ту же ось (симметрии), которую мы называем «осью Галуа». Ось Галуа, жёстко фиксированная в теле (но не совпадающая с какой-либо главной его осью инерции), вращается равномерно в плоскости, ортогональной угловому моменту, как показывает наша анимация. Анимация также отслеживает соответствующие две (рекуррентно самопересекающиеся) герполодии, которые оказываются зеркально-симметричными. «Зеркало» проявляется в плоскости, ортогональной оси Галуа «посреди кувырка». Сама ось Галуа отражается относительно малой (или большой) оси инерции, если направление углового момента меняется на противоположное. Формула «взмаха» промежуточной оси инерции, в плоскости, ортогональной оси Галуа (в системе координат тела), оказывается «квадратным корнем» критического решения Абрарова для математического маятника, (мнимый) период которого (точно) вычисляется. С. 5-13 (на англ.)

The aim of our paper is to explain a computer animation of the strictly critical rigid body motion, which ought not be confused with any other motion in its “proximity”, however close. We demonstrate that the (local) “uniqueness theorem” remarkably fails in the case of critical motion which (time) domain must be compactified via adjoining the point at (complex) infinity. Two (opposite to each other) “flips” correspond to one and the same (initial) rotation, exclusively either clockwise or counterclockwise, (strictly) about the intermediate axis of inertia. These two symmetrical reversals of the direction of the intermediate axis (of inertia), initially matching then opposing the direction of the (fixed) angular momentum, share one and the same (symmetry) axis, which we call “Galois axis”. The Galois axis, which is fixed within the body (but coincides with no principal axis of inertia), rotates uniformly in a plane orthogonal to the angular momentum, as our animation demonstrates. The animation also traces the corresponding two (recurrently self-intersecting) herpolhodes, which turn out to be mirror-symmetrical. The “mirror” is exhibited to lie in a plane, orthogonal to Galois axis at the midst of the “flip”. The Galois axis itself is reflected across the minor (or the major) axis of inertia if the direction of the angular momentum is reversed. The formula for the “swing” of the intermediate axis in the plane orthogonal to Galois axis (in body’s frame), turns out to be “a square root” of Abrarov’s critical solution for a simple pendulum, which (imaginary) period is (exactly) calculated.

Последнее письмо Эвариста Галуа, адресованное Огюсту Шевалье, накануне (так называемой) дуэли 30 мая 1832 года (которая, пожалуй, проще и точнее была охарактеризована как убийство Альфредом, не допустившим на следующий день священника к своему старшему брату Эваристу в его последние мгновения), было написано на семи страницах и разделено на три мемуара. Первый мемуар занимает чуть меньше двух страниц. Впоследствии сей мемуар стал известен как теория Галуа (о которой, в частности, рассказал Мелвин Кирнан). Однако, Галуа продолжил своё письмо потрясающе удивительными конструкциями во втором мемуаре, который занял чуть более двух страниц. Третий (и самый длинный!) мемуар начинается на пятой странице и остаётся загадочным и нерасшифрованным, но он, несомненно, вдохновил Александра Гротендика сформулировать свою гипотезу о периодах. Письмо заканчивается абзацем о последних «главных размышлениях», касающихся «приложений теории неоднозначности к трансцендентному анализу», где Галуа преподносит нам последнюю загадку, говоря, что «мы можем тотчас же рассмотреть большое множество выражений». К сожалению, неумолимость давлеющего времени не позволила ему привести какие-либо конкретные примеры, а смогла лишь дать краткие последние инструкции, о том, что делать с письмом. Несмотря на это, многие «историки» назойливо и примитивно твердят нам (и друг другу), что мы не должны «переоценивать» значение письма, которое (вопреки их советам) красноречиво и правдиво описывалось Германом Вейлем как «самая значимая рукопись во всей истории человечества»! С. 11-26.

Évariste Galois' last letter, addressed to Auguste Chevalier, on the eve of the (so-called) duel on May 30, 1832 (which, perhaps, simpler and more accurately described by Alfred, who did not allow a priest to deprive him from the final moments on the following day with his elder brother Évariste, as murder), was written on seven pages and was divided into three memoirs. The first memoir consumes a little less than two pages. It gave rise to what has come to be known as Galois theory (as, in particular, told by Melvin Kiernan). Yet Galois went on with stunningly amazing constructions in the second memoir, which consumed a bit more than two pages. The third (and longest!) memoir begins on the fifth page and remains mysteriously unresolved, yet it undoubtedly inspired Alexander Grothendieck to formulate his period conjecture. The letter is concluded with a paragraph on the latest ``principal contemplations'', concerning ``the applications of the theory of ambiguity to transcendental analysis'', where Galois delivers his last puzzle to us, saying that ``one recognizes immediately lots of expressions to look for''. Unfortunately, the severity of the time pressure upon him permitted only succinct last instructions with no more last examples. Still and disgracefully, many ``historians'' keep on incessantly and mundanely telling us (and each other) that we ought not ``overestimate'' the significance of the letter, which was (contrary to their advice) eloquently and veraciously described by Hermann Weyl as ``the most substantial piece of writing in the whole literature of mankind''!

Данная статья посвящена сравнительному анализу результатов проекта ReMath (Representing Mathematics with digital media), связанного с изучением цифровых представлений математических понятий. Теоретические положения и выводы этого проекта будут анализироваться на основе теории информационной среды [1], разработанной с участием одного из авторов этой статьи. Выполненный в этой работе анализ частично совпадает с выводами проекта ReMath, но использует другую основу исследования, базирующуюся в большей степени на работах отечественных ученых. Представляет интерес анализ работ проекта ReMath с концептуальных позиций, изложенных в этой монографии, и установление связей между понятиями и отличий в понимании влияния компьютерных инструментов (артефактов) на процесс обучения математике. В то же время авторы оспаривают трактовку зарубежными исследователями некоторых вопросов в работах Выготского и дают свой взгляд на виды и функции цифровых артефактов в обучении математике. С. 58-86.

This article is devoted to a comparative analysis of the results of the ReMath project (Representing Mathematics with digital media), devoted to the study of digital representations of mathematical concepts. The theoretical provisions and conclusions of this project will be analyzed based on the theory of the information environment [1], developed with the participation of one of the authors of this article. The analysis performed in this work partially coincides with the conclusions of the ReMath project, but uses a different research basis, based mainly on the work of Russian scientists. It is of interest to analyze the work of the ReMath project from the conceptual positions set forth in this monograph and to establish links between concepts and differences in understanding the impact of computer tools (artifacts) on the process of teaching mathematics. At the same time, the authors dispute the interpretation of some issues in Vygotsky’s works by foreign researchers and give their views on the types and functions of digital artifacts in teaching mathematics.