Компьютер как новая реальность математики. III. Числа Мерсенна и суммы делителей
Computers as Novel Mathematical Reality. III. Mersenne Numbers and Divisor Sums
Computers as Novel Mathematical Reality. III. Mersenne Numbers and Divisor Sums
Открыто 
Нигде в математике прогресс, связанный с возникновением компьютеров, не является столь зримым, как в аддитивной теории чисел. В этой части будет рассказано о~роли компьютеров в исследованиях поведения древнейшей функции, суммы делителей, свойства которой пифагорейцы начали систематически изучать больше 2500 лет назад. Описание траекторий этой функции - совершенные числа, дружественные числа, общительные числа, and the like - составляет содержание некольких поставленных два-три тысячелетия назад задач, которые не решены до сих пор. Теорема Эвклида-Эйлера сводит описание четных совершенных чисел к простым числам Мерсенна. После 1914 года ни одно новое простое число Мерсенна не было открыто вручную, с 1952 года все они открыты при помощи компьютеров. При помощи компьютеров сегодня каждый день строится в сотни и тысячи раз больше новых пар дружественных чисел, чем было до этого открыто вручную за несколько тысячелетий. В конце статьи обсуждается гипотеза Каталана-Диксона. С. 5-58.
Nowhere in mathematics is the progress resulting from the advent of computers is as apparent, as in the additive number theory. In this part, we describe the role of computers in the investigation of the oldest function studied in mathematics, the divisor sum. The disciples of Pythagoras started to systematically explore its behaviour more that 2500 years ago. A description of the trajectories of this function --- perfect numbers, amicable numbers, sociable numbers, and the like --- constitute the contents of several problems stated over 2500 years ago, which still seem completely inaccessible. A theorem due to Euclid and Euler reduces classification of it even perfect numbers to Mersenne primes. After 1914 not a single new Mersenne prime was ever produced manually, since 1952 all of them have been discovered by computers. Using computers, now we construct hundreds or thousands times more new amicable pairs it daily, than what was constructed by humans over several millenia. At the end of the paper, we discuss yet another problem posed by Catalan and Dickson.
Nowhere in mathematics is the progress resulting from the advent of computers is as apparent, as in the additive number theory. In this part, we describe the role of computers in the investigation of the oldest function studied in mathematics, the divisor sum. The disciples of Pythagoras started to systematically explore its behaviour more that 2500 years ago. A description of the trajectories of this function --- perfect numbers, amicable numbers, sociable numbers, and the like --- constitute the contents of several problems stated over 2500 years ago, which still seem completely inaccessible. A theorem due to Euclid and Euler reduces classification of it even perfect numbers to Mersenne primes. After 1914 not a single new Mersenne prime was ever produced manually, since 1952 all of them have been discovered by computers. Using computers, now we construct hundreds or thousands times more new amicable pairs it daily, than what was constructed by humans over several millenia. At the end of the paper, we discuss yet another problem posed by Catalan and Dickson.
Ключевые слова: простые Мерсенна, суммы делителей, совершенные числа, дружественные числа, общительные числа, аликвотные последовательности, гипотеза Каталана-Мерсенна, гипотеза Каталана-Диксона, гипотеза Гая-Селфриджа.
Keywords: Mersenne primes, divisor sums, суммы делителей, perfect numbers, amicable numbers, sociable numbers, aliquot sequences, Catalan-Mersenne conjecture, Catalan-Dickson conjecture, Guy-Selfridge conjecture.
Для пополнения баланса выберите страну, оператора и отправьте СМС с кодом на указанный номер. Отправив одну смс, вы получаете доступ к одной статье.
Закрыть