Соавт.: А.Г.Лямов, Н.Ю.Прокопенко. Авторы рассказывают о Всероссийском дистанционном конкурсе КИО-2006 (\\\"Конструируй, исследуй, оптимизируй\\\"). Участникам предлагаются исследовательские задачи, предполагающие использование манипуляторов. Задачи эти связаны с важными математическими идеями, часть из них сформулирована на основе еще не решенных математических проблем. Каждая предложенная задача допускает различные решения, которые можно сравнивать между собой по некоторому параметру. Побеждают участники, добившиеся по этому признаку лучших результатов.В статье приведены формулировки задач, описаны пути к исследованию приведенных сюжетов.